Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движени - Страница 36

Движение тел и параболы

Форму траектории движения тела можно проанализировать с помощью геометрии или алгебры.

Геометрический анализ. Предположим, что в горизонтальном направлении брошен камень. Камень проходит в своем горизонтальном движении одинаковые расстояния по горизонтали за каждую секунду, совершая в то же время ускоренное движение в вертикальном направлении. Падая, он пролетает по вертикали 4,9 м за первую секунду после начала движения, 19,6 м за первые 2 сек, 43,9 м за первые 3 сек и т. д. Нанесите на масштабную сетку положения камня в различные моменты времени. Выберите промежутки времени от начала движения, которые находятся в пропорции 1:2:3:4…. За эти промежутки времени камень в своем равномерном горизонтальном движении проходит расстояния по горизонтали, которые находятся в той же пропорции 1:2:3:4…

Однако камень, падая, проходит по вертикали расстояния, пропорциональные квадратам этих чисел, т. е. 1, 4, 9, 16…, поскольку

РАССТОЯНИЕ ПО ВЕРТИКАЛИ = /∙g∙(ВРЕМЯ)

а значения величины (время) находятся в пропорции 1:4:9…

Отметьте положение камня в эти равноотстоящие друг от друга моменты времени, проведя вертикальные прямые через равные интервалы, скажем через 2 см; проведите также горизонтальные прямые на расстоянии 1 см вниз до исходного уровня, 4 см, 9 см и т. д., чтобы отметить расстояния по вертикали, пройденные камнем в падении. Тогда предсказанная траектория движения будет отмечена пересечениями вертикальных и горизонтальных прямых, как показано на фиг. 57. Это можно продемонстрировать, бросая шарики или выпуская водяные капли перед доской, на которой проведены такие прямые.

Фиг. 57. Сложение горизонтального и вертикального движений тела.

...

Задача 16

Предположим, что опыт убедил нас в том, что движение тел действительно происходит по кривой, проходящей через отмеченные на сетке точки. В какой мере это убеждает нас в правильности представлений о движении в природе? В подобном опыте начальную горизонтальную скорость, сообщаемую телу, нужно выбрать так, чтобы траектория проходила по отметкам (фиг. 58, а). Предположим, мы уменьшили скорость и отметили на доске новую траекторию движения. Каким образом можно проверить, совершает ли тело такое же движение, что и прежде (фиг. 58, б)?

Фиг. 58. К задаче 16.

Алгебраический- анализ. Начертите на разграфленной бумаге с координатами х и у воображаемую траекторию летящего камня и найдите ее уравнение. Предположим, что камень брошен горизонтально из начала координат (0, 0) со скоростью 5 м/сек. Тогда за каждую секунду камень перемещается в горизонтальном направлении на 5 м. По прошествии t сек после начала движения камень переместится в горизонтальном направлении на 5t м, поэтому можно записать

РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ, х = 5∙t м.

Через t сек камень, падая из состояния покоя, пройдет по вертикали расстояние у, определяемое формулой

РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ПО ВЕРТИКАЛИ, y = / УСКОРЕНИЕ t= /(9,8)∙t = 4,9∙t м

Эти формулы справедливы для любой стадии движения камня по его криволинейной траектории, поэтому мы можем записать

x = 5∙t

y = 4,9∙t

Чтобы найти одно уравнение, описывающее траекторию движения, зададим себе вопрос: «Какое соотношение между х и у обеспечивает выполнение обоих приведенных выше требований на каждом этапе движения камня?» Для любой произвольно выбранной точки на траектории значения ее координат х и у должны удовлетворять обоим приведенным выше уравнениям для соответствующего значения t. Это значение t должно быть одинаковым в обоих уравнениях — ведь это время, когда камень достигает выбранной точки.

Поэтому мы можем избавиться от t, выразив из одного уравнения t и подставив полученное выражение в другое уравнение. Проделаем это.

Уравнение x = 5∙t дает t = x/5; подставляя выражение х/5 вместо t в уравнение y = 4,9∙t, получаем у = 4,9∙(х/5), или у = (4,9/25)∙x.

Уравнение траекторий движения камня будет тогда иметь вид у = 0,196∙x.

В более общем случае, если камень брошен горизонтально с начальной скоростью v м/сек и падает с вертикальным ускорением g м/сек на сек, то

x = vt и y = / gt

Следовательно,

т. е. у = (постоянная)x, поскольку/g/v— постоянная величина.

Это уравнение параболы

Воспользовавшись подобным уравнением, можно построить на клетчатой бумаге превосходные графики параболы. Постройте на бумаге с сантиметровыми клетками кривую, описываемую уравнением y = / x, взяв х = — 4, —3, —2, —1, 0, 1, 2 см и т. д.

Попытайтесь подогнать траекторию движения реального тела к этой кривой. Положите лист бумаги, на котором построена кривая, на чертежную доску, расположенную наклонно к плоскости стола, и скатывайте по ней шарик или держите лист бумаги отвесно и подбрасывайте перед ним какой-нибудь небольшой предмет.

Движение снаряда, выпущенного из пушки под углом к горизонту

Если снаряд выпущен не горизонтально, а вверх, под некоторым углом к горизонту, то его траектория по-прежнему будет параболой. Алгебраически это можно показать, используя уравнение s = vt + /gt,a не s = / gt. Таким образом, мы воспользуемся очевидной симметрией криволинейной траектории движения и можем сказать, что замедленное движение тела вверх до вершины траектории должно совпадать с ускоренным движением вниз, начинающимся от вершины, поэтому можно начертить всю траекторию, исходя из рассмотренной задачи движения снаряда, выпущенного горизонтально. Но все это лишь разумное предположение, хотя эксперимент подтверждает его. Можно рассуждать еще и так: двигаясь по ниспадающему участку траектории от вершины О, камень не может «знать», началось ли его движение в точке О или раньше, или позже. Поэтому камень, брошенный в какой-либо точке этого участка траектории, скажем в точке А, в сторону и вниз, должен двигаться по той же траектории, что и камень, брошенный горизонтально из вершины О, лежащей выше (фиг. 59).