Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движени - Страница 134

134

При такой записи легко пользоваться счетной линейкой и при расчетах с помощью логарифмических таблиц. (Степень 10 дает непосредственно целую часть логарифма, а таблицы — дробную часть логарифма по первой части в стандартной записи.) Числом цифр после запятой можно охарактеризовать точность исходных данных или точность результата расчетов.

Например, толщина волоса близка к 0,00015 м.

Умножение этого числа на 10 дает 0,0015,

еще на 10 дает 0,015,

еще на 10 дает 0,15,

еще на 10 дает 1,5.

Отсюда стандартная запись числа:

0,00015 x 10 x 10 x 10 x 10 равно 1,5, или 0,00015 х 10 = 1,5.

Следовательно,

0,00015 равно 1,5/10 или 1,5 х 10.

Это и есть стандартная запись числа 0,00015.

Если попытаться рассортировать волосы по толщине и измерить толщину волоса с большой точностью, то можно было бы найти волос диаметром, скажем, 0,0001502 м. Мы должны записать это число в виде 1,502 х 10 м. Сомневаясь в такой точности, можно отбросить две последние цифры и записать результат измерений в виде 1,50 x 10 м. Заметьте: 1,50 x 10— это не то же самое, что 1,5 x 10. Число 1,50 означает, что мы вполне уверены в цифре 1, вполне уверены в цифре 5 и считаем, что следующая цифра 0; она ближе к 0, чем к 1, или к цифре 9 числа 1,49. В то же время 1,5 означает число, лежащее где-то между 1,45 и 1,55.

Масса атома водорода равна

0,00000000000000000000000000166 кг.

Чтобы избавиться от одного нуля, нужно умножить это число на 10. Чтобы избавиться от всех двадцати шести нулей, нужно умножить его на 10, тогда получим 0,166. Умножение еще на 10 дает 1,66. Таким образом, чтобы получить число 1,66, следует передвинуть запятую на 27 разрядов вправо, т. е. произвести умножение на 10. Но масса атома должна остаться неизменной, значит, нужно разделить 1,66 на 10. «Разделить на 10» записывают как «умножить на 10», следовательно, масса атома водорода равна 1,66 х кг.

Один килограмм гелия содержит

1500000000000000000000000000 атомов гелия.

В стандартной форме это число будет записано в виде 1,5 х 10.

Чтобы перемножить числа, записанные в стандартной форме, нужно перемножить их «главные части» на линейке и сложить оба показателя степени числа 10 — сумма показателей даст новый показатель степени десяти.

Чтобы разделить одно число на другое, нужно вычесть из одного показателя степени числа 10 другой. Например,

a) (3,1 x 10)x(2,0 x 10) = 6,2 x 10= 6,2 x 10,

б) (3,1 x 10)х(2,0 x 10) = 6,2 x 10= 6,2 x 10

в) 3,1 x 10/2,0 x 10 = 1,55 х 10= 1,55 х 10

г) 3,1 x 10/2,0 x 10 = 1,55 х 10 = 1,55 х 10

д) 3,1 x 10/2,0 x 10 = 1,55 х 10 = 1,55 х 10

е) (3,1 x 10 х 6,0 x 10)/(2,0 x 10 х 1,55 x 10) = 6,0 х 10 =

= 6,0 х 10 = 6,0 х 10

Счетная линейка

Счетная линейка позволяет легко и быстро умножать и делить числа, если научиться оценивать доли мелких делений линейки. Но линейка ничего не говорит о том, где должна стоять запятая. Чтобы установить положение запятой, нужно либо проделать грубый подсчет в уме, либо записать все числа, над которыми производятся действия, в стандартной форме и после этого сделать приближенный расчет. Например, требуется вычислить

(126 x 79,2 x 0,074)/(0,00521 x 876)

Линейка дает 1618. Грубый подсчет дает

(120 х 80 х /)/(/ х 800), или (120 х 7)/5, или примерно 160

Поэтому запятую следует поставить так: 161,8.

Стандартная запись дает

Следовательно, ответ 161,8.

Проценты

Знак % означает просто /, так что 2 % означает /; 6,21 % означает /, a 0,03 % означает /. Если вы хотите, например, выразить /с помощью знака %, то нужно превратить / в равновеликую дробь со знаменателем 100. В данном случае это просто: / — это то же самое, что /. Значит, / равно 15 %, т. е. 15 % — это просто иной способ записи дроби /!

Чтобы перевести в % число /, мы должны перевести его в равновеликую дробь со знаменателем 100. Для этого запишем / в виде дроби со знаменателем 1, после чего умножим числитель и знаменатель на 100. Производя затем деление в числителе, получаем

Значит, / — это то же самое, что дробь /, которую мы записываем в виде 14 %. Выразить 3 в процентах от 20 означает просто записать дробь / и превратить ее в равновеликую дробь со знаменателем 100, а затем записать новую дробь с помощью знака %. Мы записываем / в виде /, следовательно, ответ 15 %.

Чтобы выразить 0,032 в процентах от 7,91, мы записываем дробь / и преобразуем ее так, чтобы числитель и знаменатель были целыми числами: /. Затем превращаем эту дробь в дробь со знаменателем 100 и получаем

Запись ошибок экспериментальных данных в процентах

Если результаты двух измерений какой-нибудь величины несколько отличаются друг от друга, то их расхождение выражают в процентах от всего результата измерений. Так сделано в приводимых ниже примерах:

1) Экспериментаторы А и В фиксируют время на соревнованиях, они получили соответственно 506 и 504 сек. Разница в замерах 2 сек, ее нужно отнести к результату самих замеров, который немногим превышает 500 сек. Чтобы указать, насколько близко оба результата совпадают, мы выражаем их разность в виде доли всего времени: 2 сек/500 сек. Разность 2 сек составляет / замеренного времени. Превращая эту дробь в дробь со знаменателем 100, получаем / = / = 0,4 %. Мы говорим, что результаты измерений различаются на 0,4 %.

2) Два взвешивания одного и того же предмета дают 2,130 и 2,132 кг. Оба взвешивания различаются на 0,002 кг, эту разницу нужно отнести к результату взвешивания, равному 2 кг. Таким образом, интересующая нас дробь равна /, или 0,001, т. е. 0,1 %. Мы говорим, что расхождение результатов взвешивания составляет 0,1 %.

134